Kudra rozpoczynał karierę w łódzkiej Gwardii (1954-60) i kontynuował ją w barwach tamtejszego Społem (1960-72). Trzykrotnie zdobywał tytuł mistrza Polski w wyścigu indywidualnym ze startu wspólnego (1960, 1962, 1964), trzykrotnie również w wyścigu drużynowym i wywalczył trzy złote medale w konkurencjach torowych.
Pięć razy startował w Wyścigu Pokoju, zajmując najwyższe trzecie miejsce w klasyfikacji generalnej w 1965 roku. Rok wcześniej był trzynasty na igrzyskach olimpijskich w Tokio. W Tour de Pologne triumfował w 1962 i 1968 roku.
W 1962 i 1963 roku został wybrany najlepszym polskim kolarzem w challenge'u "Przeglądu Sportowego" i Polskiego Związku Kolarskiego.
Jak przypomniał PZKol, Kudra w klasyfikacji najlepszych polskich szosowców w latach 1921-1986 zajął czwarte miejsce, za Ryszardem Szurkowskim, Tadeuszem Mytnikiem i Stanisławem Szozdą.
- Co uważam za swój największy sukces? Wielkich nie miałem. Trzykrotnie zdobyłem mistrzostwo Polski na szosie. Udało mi się pokonać w każdym takim wyścigu 200 zawodników, w dodatku w pięknym stylu. To się pamięta. Tak jak starty w Wyścigu Pokoju. Powtarzam jednak, że byłem kolarzem "wielkiego pecha" – wspominał w rozmowie z PAP z okazji 80. rodzin.
Złośliwość przedmiotów martwych, ale i rywali, dotykała go w trakcie występów w najważniejszych imprezach międzynarodowych.
- Na mistrzostwach świata w 1960 roku w Karl-Marx-Stadt byłem w pierwszym szeregu walczących o czwarte miejsce. Bo trzech kolarzy: Niemcy Bernhard Eckstein i Gustaw Adolf Schur oraz Belg Willy Vanden Berghen uciekło wcześniej. Tuż przed metą, jakieś 200 m, kończyła się góra i zaczynał płaski odcinek. Chciałem zmienić tryb, ale przerzutka mi nie zadziałała i na tych ostatnich metrach wypadłem z rywalizacji, zajmując 22. pozycję - przypomniał.
Najwyższą lokatę w swoich czterech startach w czempionacie globu zajął dwa lata później we włoskim Salo, gdzie przyjechał na metę ósmy.
Kolejna szansa pojawiła się w 1964 roku w Sallanches we Francji. "Eddy Merckx uciekł wtedy na minutę, jechał przed nami, a cały wyścig rozgrywany był w okropnym deszczu. Za nim na mecie finiszowało ok. 30 kolarzy. Na jakieś 800 m przed kreską Holender złapał mnie za ramię i chciał zepchnąć na skraj drogi. Jakoś się wykaraskałem z tej sytuacji i w tej grupie zająłem jeszcze 11. miejsce" - relacjonował.
W tym samym roku Kudra startował na igrzyskach olimpijskich w Tokio, gdzie także trafił na rywali nie przebierających w środkach. "Jeden z Niemców chwycił mnie za udo i odepchnął do tyłu na 100 m przed metą. Jechałem na piątym, szóstym miejscu, a straciłem w trakcie tego niesamowicie szybkiego finiszu kilka metrów i zająłem 13. lokatę. A miałem wtedy siły, żeby zaatakować..." – wspominał.
Po zakończeniu kariery Kudra był trenerem w łódzkich klubach Społem i Orzeł.
W 2010 roku został odznaczony Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski.